Voici un glossaire des termes dont vous allez être amené à vous servir (quotidiennement ou presque :-)). Pour toutes questions, rendez-vous sur le forum. La série de terme général ∑U_n converge absolument si la série de terme général ∑|U_n| converge. La convergence absolue entraîne la convergence simple. Étude des structures algébriques : groupe, corps, anneaux. Autrement dit, étude d'un ensemble muni de lois de composition (addition, multiplication...), ordonné ou non. Série de la forme ∑U_n avec U_n=(-1)ⁿ V_n, V_n=0. Si V_n est décroissante de limite nulle alors la série converge. Soit E et F deux espaces vectoriels sur K=R ou C. Une application linéaire f de E dans F vérifie :
f(ax+µy)=af(x)+µf(y), pour tout x,y de E et a,µ de K. Une suite arithmétique Un de raison r vérifie : u_n+1=u_n+r, pour tout n≥ 0. On a donc : u_n=u₀+nr et ∑ⁿ_i=0 u_i = (n+1)(u₀+u_n)/2 Une opération (ex : *) est associative sur E si pour tout x,y,z de E : (x*y)*z=x*(y*z) Une application est bijective si et seulement si elle est injective et surjective. Fonction permettant de tester l’appartenance à un sous-ensemble.
Soit E un ensemble et F un sous-ensemble de E . La fonction caractéristique de F f_F vérifie :
f_F : E → {0,1}
      x → 1 si x ∈ F
             0 sinon Le produit cartésien de deux ensembles A et B est l’ensemble des couples dont la première composante appartient à A, et la seconde à B. Elle existe dans différents domaines.
∫_a^b f = ∫_a^c f + ∫_c^b f
AB = AC + CB (vecteurs)
(u,w) = (u,v) + (v,w) (u,v et w sont des vecteurs, et les parenthèses représentent les angles orientés) Une fonction de classe Cⁿ est une fonction n fois dérivable dont la dérivée n-ième est continue. Soit E un espace vectoriel sur K=R ou C. Une combinaison linéaire de (x₁,…,x_n) s’écrit : a₁u₁+…+a_nu_n, ai∈K pour tout i. Un opération (ex :*) est commutative sur E si et seulement si pour tout x,y ∈ E, x*y=y*x . Un ensemble est compact si de toute suite d'éléments de cet ensemble on peut extraire une sou-suite qui converge dans l’ensemble. Les compacts de R sont les ensembles fermés et bornés. Une fonction continue sur un compact est bornée et atteint ses bornes. Soit z un nombre complexe donné par z = x + i y , x,y ∈ R.
Le conjugué de z, est donné par z^= x – i y (z^ équivaut à z barre)
Le conjugué est le symétrique par rapport à l’axe des abscisses. Une fonction f est continue en a si elle admet une limite quand x tend vers a. Cette limite est f(a).
Une fonction est continue sur un ensemble si elle est continue en chacun des points de l’ensemble. Soit (f_n) une suite de fonctions continues par morceaux qui converge simplement vers f.
S’il existe g de I dans R₊ intégrable sur I telle que |f_n|≤ g pour tout n alors
∫I f_n tend vers ∫I f quand n tend vers +∞.
(Autrement dit on peut inverser limite et intégrale lim ∫ f_n = ∫ lim f_n ) La série de terme général ∑ u_n converge normalement si la série de terme général ∑ ||u_n||_∞ (norme infinie) converge. On considère la suite de fonctions (f_n).
Si (f_n) ne converge pas simplement, alors elle ne converge pas uniformément.
Si (f_n) converge simplement vers f et que ||f_n – f||_∞ tend vers 0, alors f_n converge uniformément vers f.
Remarque : cv normale ⇒ cv uniforme ⇒ cv simple Soit P = ∑ a_k x^k . Le degré de P est le plus grand k tel que a_k n soit pas nul. Un ensemble est dénombrable s’il existe une bijection entre cet ensemble et N. Soit f une fonction de R^k ( on a f(x₁,…,x_k) ).
La dérivée partielle de f par rapport à la i-ème variable est obtenue en supposant tous les x_j constant sauf x_i et à dériver par rapport à x_i.
Ex : f(x,y)=xy+2y
f’(x,y)par rapport à x = y
f’(x,y)par rapport à y = x+2 On utilise la formule de Taylor-Young pour en déduire des approximations de fonctions aux alentours de 0.
Ex : e^x=∑ xⁿ/n !
Cos x = ∑ (-1)ⁿ x²ⁿ/2n !
Sin x = ∑ (-1)ⁿ x²ⁿ⁺¹/(2n+1) !
Ln(1+x) = ∑ (-1)ⁿ⁺¹ xⁿ/n

Remarque : toutes les sommes sont infinies Un C^k-difféomorphisme est une application C^k, bijective et dont la réciproque est elle aussi C^k. Le dual d’un ensemble vectoriel E est l’ensemble des formes linéaires sur E. Une forme linéaire est une application linéaire de E dans K. N = {0,1,2,…} entiers naturels
Z = {…,-2,-1,0,1,2,…} entiers relatifs
Q = { p/q , p∈Z et q∈N* } rationnels
C’est une équation mettant en jeu une ou plusieurs fonctions et leurs dérivées. En théorie de la mesure, les ensembles mesurables sont les éléments d’une tribu de R^N.
Une tribu B de R^N est une famille de parties de R^N vérifiant :
0 ∈ B
Si A ∈ B alors ^CA ∈ B
B est stable par réunion dénombrable Un espace vectoriel sur K est un ensemble E muni d’une loi de composition interne + et d’une loi de composition externe * vérifiant :
   (E,+) est un groupe commutatif
   les lois vérifient pour tout (x,y)∈E², tout a,ß∈K :
         (a+ß)x= ax+ßx
         a(x+y)= a x+ay
         a(ßx) = (aß)x Fonction de R^N dans R₊ qui prend un nombre fini de valeurs a₁,…,a_k < ∞ et telle que B_i = f^-1({a_i}) est mesurable. Soit E un ensemble et F un sous-ensemble de E.
F est ouvert si pour chaque point x de F on peut trouver une boule ouverte,de centre x, incluse dans F.
F est fermé si son complémentaire est dans E (= ensemble des points de E qui n'appartiennent pas à E) est ouvert. Bo(x,a) = {y de E tels que ||x-y|| < a}
Bf(x,a) = {y de E tels que ||x-y|| = a} f est k-lipchitzienne si pour tout x,y : ||f(x)-f(y)|| = k.||x-y|| C'est une bijection continue, dont la réciproque est continue. Fonction qui conserve les longueurs : ||f(x)||=||x|| Soit F:(x1,x2,..,xn) → (F1(x1,..,xn),...,Fn(x1,..,xn))
La matrice jacobienne de F est définie par :
    dF1/dx1(x1...xn)     ...     dF1/dxn(x1...xn)
             ...                       ...
    dFn/dx1(x1...xn)    ...     dFn/dxn(x1...xn)
Son déterminant est appelé jacobien de F. C'est un résultat utilisé pour démontrer un théorème plus important. C'est l'ensemble des parties de Ω contenant la partie vide, étant stable par passage au complémentaire et par union dénombrable. Soit Ω un ensemble et B une tribu sur O.
Le couple (Ω ,B) est un espace mesurable.
Les éléments de B sont appelés ensembles mesurables. C'est une fonction de E dans R+ ayant pour propriétés :

• || k*x || = |k| * ||x||, k un scalaire
• || x+y|| = ||x|| + ||y||
• ||x|| = 0 <=> x=0

On la note souvent “≤ ”.
C'est une relation :

• réflexive ( x ≤ x )
• transitive ( x ≤ y et y ≤ z ⇒ x ≤ z )
• antisymétrique ( x ≤ y et y≤ x ⇒ x = y )

Le produit scalaire est une fonction : (x,y) &rAr; (x|y) ayant pour propriétés :

• bilinéaire ( linéaire par rapport à x et à y )
• symétrique : (y|x) = (x|y)
• positive : (x|x) = 0
• définie positive : positive et (x|x) = 0 => x = 0